Variables

Las variables pueden ser medidas y pueden variar. Se puede medir el precio de un artículo, la producción de una empresa o el número de obreros empleados en un determinado país. Esas medidas son magnitudes o valores que tienen la posibilidad de subir o bajar.

Se emplean letras del alfabeto para representar los valores que posee una variable. Por ejemplo la Letra P mayúscula simboliza los diferentes precios posibles de un bien o un servicio. Este símbolo se hace más significativa si se le coloca un subíndice, entonces el precio de un bien X sería Px y de un bien Y sería Py.

Existe un símbolo que se llama delga griega p sea : ∆ que significa “un pequeño cambio en” , es un símbolo que nunca aparece sólo sino acompañado de otro símbolo o sea una letra que represente una variable o una letra que represente alguna magnitud mensurable. Por ejemplo ∆P significa : “un pequeño cambio de precio” de un determinado bien o servicio. Si N representara el nivel de empleo de la economía, entonces ∆N significa “un pequeño cambio en el nivel de empleo de la economía”. Como ∆P representa una magnitud mensurable se puede someter a cualquier cálculo numérico.

Casi todas las magnitudes económicas son variables. Claro existen magnitudes en economía que permanecen inmutables llamados parámetros y variables exógenas.

Una manera abreviada de decir que el valor de otras variables no cambian es la expresión latina  ceteris paribus. Son variables que no están siendo examinadas y permanecen constantes.

Ecuaciones

Una ecuación es una afirmación que una cosa es igual a otra. Por ejemplo las siguientes son ecuaciones simples : S = Y-C ; C = a + bY ; S=I. Las características comunes de las tres ecuaciones anteriores es que todas contienen el símbolo = (igual a) antes de los símbolos de la izquierda y después del símbolo de la derecha, que pueden ser variables o bien parámetros. Y cada parte antes del símbolo = se llaman términos, en S= Y-C existe un término en el lado izquierdo o sea S y dos términos en le lado derecho , o sea : Y y C; y en la ecuación : C = a + by, en el lado derecho hay dos términos : a y by.

En matemática se acostumbra a utilizar las letras minúscula a , b, c, d para indicar las magnitudes de parámetros (que se presupone permanecen constantes). Y las letras en mayúscula X e Y son variables.

Una ecuación es un conjunto de variables y parámetros separados por el signo  igual (=). La ecuación : S =I contiene sólo dos variable y ningún parámetro, pero la ecuación : C = a + b Y tiene dos variables (C e Y) y dos parámetros (a y b). Si en una ecuación aparece un cero, ese valor es un parámetro.

Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones empleadas en la ciencia económica pertenecen a una de las siguientes tres categorías : 1) ecuación de función o de comportamiento, 2) ecuación de definición o de identidad y 3) ecuación de equilibrio y para identificarlas se necesita una explicación verbal.

1)        Ecuación de función: cuando la magnitud de una variable depende de alguna forma de la magnitud de otra u otras variables, se dice que las variables están funcionalmente relacionadas o una depende de la otra. O sea: el comportamiento de cómo varía una variable, depende de la magnitud de otra u otras variables. En la ecuación : C = f  (Y), la letra “ f “  es una anotación para indicar que “ es una función de” o “ de alguna forma depende de”. O sea: C es una función de Y o C depende de Y. A veces se utilizan otros símbolos, para indicar que existe una dependencia entre variables, como : f, g, h, o las letras griegas fi 0 o bien psi . Escribir C= f (Y) no significa que C depende sólo de Y , lo que significa es que en esa ecuación existe sólo la variable Y; pero C también puede depender de la variable Y y de los parámetros a y b, en la ecuación : C = a + bY ; es decir, la magnitud C está relacionada con la magnitud de los dos parámetros “a y b” y con la variable “Y”  y en caso de mayor especificidad, se puede escribir : C = 10 + 0,80 Y; esto quiere decir que para cualquier valor de Y se puede determinar el valor de C, o bien : 0,80 Y = C –10 , o también : Y = C – 10 / 0,80. Sea cualquier valor de C, se puede también determinar el valor de Y. Se debe observar que no se dice que el valor de Y sea la causa de C  (pues puede ser o no), porque también puede ser que C sea o no causa de Y.Los parámetros pueden cambiar de valor y entonces la relación entre C e Y habrá también cambiado; a esto se le llama cambio paramétrico.

2)        Ecuación de definición : no todas las ecuaciones son de función, algunas son de identidad. Si definimos la utilidad de una empresa como la diferencia de “R” sus ingresos o rentas, menos  “C” sus costos ,entonces podemos escribir :

π=R-C, o también con el signo de identidad (tres rayitas). La ecuación de definición, lo que señala es que la definición de utilidad o lucro siempre será verdadera para todos los valores de R (ingresos) y C (costos).

3)        Ecuación de equilibrio : la ecuación de equilibrio en economía permite que se determine cuáles serán las magnitudes de determinadas variables. En la ecuación : C = 10 + 0,80 Y , se puede determinar el valor de C, si el valor de Y fuese conocido; o cuál es el valor de Y, si se conociese el valor de C. Para determinar los dos valores de C e Y se necesita otra ecuación. La ecuación de equilibrio señala cuál es la condición que debe prevalecer, antes que se pueda determinar cuál será la magnitud de cada variable.

Si, con la ecuación C = 10 + 0,80Y , se quiere afirmar que los valores de C e Y tienen que ser iguales, entonces se puede escribir la ecuación de equilibrio :

C = Y. Así, se puede determinar los valores de C e Y de la siguiente manera: se sustituye C por Y en la ecuación : C = 10 + 0,80 Y, porque la ecuación de equilibrio nos informa que Y tiene que ser igual que C. Se tiene entonces la ecuación :  Y = 10 + 0,80 Y, y si se sustituye 0,80Y en ambos lados de esa ecuación, se tiene : Y – 0,80 Y = 10 + 0,80 Y – 0,80 Y, es decir : 0,2 Y= 10; y dividiendo ambos lados de la ecuación por 0,2, se obtiene :

0,20 Y / 0,20 = 10 / 0,20, o lo que es lo mismo : Y = 50. Ahora sí podemos sustituir este valor de  Y =50 en la ecuación : C= 10 + 0,80 Y; para poder verificar de esta manera : C = 10 + 0,80 (50) = 10 + 40 = 50. O sea, que en la ecuación de equilibrio  C = Y, se puede escribir  C = 50.

Cuando el valor de una variable demuestra una tendencia a subir o bajar, surge el desequilibrio. Si existe equilibrio entre fuerzas opuestas ello quiere decir que las fuerzas que aumentan el valor de una variable se equilibra o iguala con las fuerzas que disminuyen el valor de esa variable.

Desigualdades

Algunas afirmaciones no se pueden expresar en ecuaciones. La idea de que un edificio es más elevado que otro, no se puede expresar en una ecuación sino colocando el símbolo “mayor que”. Así el edificio A es más elevado que el edificio B, se escribe: A > B. Esta afirmación de desigualdad también señala que B es menos elevado que A, o sea: B < A, con el símbolo < que significa “menor que”. También se puede decir que algo es mayor o igual que otra cosa, o igual y menor.

Ecuaciones lineales y no lineales

Las ecuaciones de función en economía se pueden dividir en dos grupos, a saber : ecuaciones lineales o no lineales. Una ecuación lineal o de primer grado es aquella en que el mayor exponente o potencia de cualquier variable de la ecuación es el valor  1 y las variables no se multiplican entre sí. Toda ecuación que no se someta a estos dos requisitos es una variable no lineal o de grado más elevado que 1, porque allí aparece una variable elevada a un exponente o potencia mayor que 1; o bien que las variables con exponente igual a 1 se pueden multiplicar entre sí.

Una ecuación lineal o de primer grado es la siguiente : Y = a + b X; pero una ecuación no lineal es : Y = a + b X elevada a la 2. Una ecuación no lineal también es: X*Y = c, porque la suma de los dos exponentes de X e Y es igual a 2. Una ecuación de tercer grado es : Y = a – Y elevado a la tres, pero también : X*Y elevado a la 2 =c (porque la suma de los dos exponentes de X e Y es igual a 1 + 2 = 3). La letra Y es la ordenada o datos verticales en un gráfico y la letra X es la abscisa o los datos horizontales en el gráfico. Cuando se representa gráficamente la ecuación lineal : Y = 20 + 0,80 X, se obtendrá una curva lineal o línea recta, donde el parámetro “a” es igual a 20, siendo un término constante; y el parámetro “b” es igual a 0,80. Si X fuese CERO, entonces “Y” sería igual a  20 + 0,80 (0), o sea 20 (el intercepto de la curva en el gráfico); y el parámetro “b” en una ecuación lineal es igual al grado de inclinación de la curva (o el coeficiente angular), o sea la variación de Y dividida por la variación de X, el grado de inclinación de la curva: 

∆ Y / ∆ X = b.

Una función lineal puede ser negativa ; S = -a + bX , como el ahorro total de una economía que puede ser menor que cero.

En economía existen ecuaciones no lineales o sea de grado superior a 1. Y en los gráficos no aparecen como líneas rectas, sino curvilíneas.

MODELOS ECONOMICOS

Un modelo o teoría económica es un conjunto de ecuaciones que se denomina sistema de ecuaciones.Son pocos los modelos económicos que contienen sólo una ecuación, pues la mayoría contienen varias ecuaciones. Es necesario recordar que los modelos son abstracciones o simplificaciones de la realidad, por lo que no pueden explicar los valores de todas las variables de una economía. Se supone que las variables que no aparecen en el modelo permanecen constantes.

Las variables que aparecen en el modelo se pueden categorizar como variables endógenas y variables exógenas. Es necesario conocer las magnitudes de las variables exógenas para determinar los valores de las variables endógenas del modelo, ya que si las variables exógenas varían, entonces cambian también las variables endógenas del modelo. Se acostumbra a simbolizar las variables exógenas colocando una barra encima de su letra.

Los modelos económicos pueden ser cerrados y abiertos.

Modelos económicos cerrados

Según el número de variables así habrá un número de ecuaciones; y si el número de variables y de ecuaciones es igual, entonces el modelo se llama cerrado. Cada asunto que se afirma contará sólo con una ecuación que debe ser consistente o sea que no debe contradecir con cualquier otra ecuación. Veamos un ejemplo de inconsistencia entre dos ecuaciones :

X = Y + 3

Y = X – 2

Esas dos ecuaciones son contradictorias, porque si en la segunda ecuaciones se suma 2 a ambos lados, se obtiene : Y + 2 = X – 2 + 2, o sea : X = Y + 2. O bien, demostrando esto de otra manera, se sustituye en la segunda ecuación X –2 por la Y de la primera ecuación y se obtiene : X = (X –2) + 3, que es igual a : X = X – 2 + 3, o sea X = X + 1. Lo cual es imposible y en efecto si restamos en ambos lados de la última ecuación la X, entonces : X –X = X – X + 1, esto es igual a :  0 = 1, lo cual no tiene sentido.

Así pues en un modelo económico para determinar la magnitud de todas las variables, debe haber un número igual ecuaciones diferentes y consistentes. Un ejemplo de un modelo económico cerrado sería :

C = a + b Y

S es idéntico a Y – C

S = I

I = I con barra arriba.

En este sistema existen 4 ecuaciones diferentes y hay 6 símbolos diferentes , o sea: C, a, b, Y, S e I. Y en la cuarta ecuación se indica que I es igual a una variable exógena cuya magnitud no viene determinada ni explicada por el modelo. Las variables endógenas son : C , Y y también S, ya que sus magnitudes se podrían encontrar a partir del modelo, una vez que se le atribuya un valor a I. Así pues, para cada valor diferente atribuido a I surgirán diferentes valores para C, Y e S.

La segunda ecuación es una ecuación de definición, ya que S es idéntico por definición a  Y – C. La primera, tercera y cuarta ecuación son ecuaciones de función o de equilibrio.

La ecuación de solución para el sistema cerrado se puede obtener para cualquiera de las tres variables endógenas C, Y y S. Veamos la solución para la variable Y. Lo primero sería sustituir I por I barra en la ecuación tercera, y luego podemos sustituir S por Y – C, ya que son idénticas y quedaría : Y – C = I barra. Ahora, podemos sustituir a C por a + bY, y obtenemos : Y – (a + b Y) = I barra. Si de inmediato sumamos el parámetro “a” a ambos lados de la ecuación anterior, tenemos :

Y – bY = a + I barra, o lo que es lo mismo : Y (1 – b) = a + I barra. Ahora podemos dividir ambos lados de esta última ecuación por  1 – b, para llegar al resultado:

Y ( 1 – b) / 1 – b = a + I barra / 1 – b

Así, el resultado para la variable endógena “Y” es:

Y* = a + I barra / 1 – b. Los parámetros de esta última ecuación son : a, b , 1; y la variable exógena I barra.

También se pueden obtener soluciones para las variable endógenas C y S. Y entonces llegaríamos a las siguientes soluciones : C* = a + B Ibarra / 1 – b. La solución para

S sería : S* = I barra.

Modelos económicos abiertos

El siguiente conjunto de ecuaciones forma un modelo económico abierto:

L = La + Lt

Lt = cY

La = j – k R

M = L

M = M con barra arriba

Se presupone que los parámetros sean : c, j, k; y las seis variables son: L, La, Lt, Y, R y M.  La última ecuación es exógena, ya que señala que M es una variable exógena. Las otras cinco variables son endógenas. La primera ecuación define a L como igual a La + Lt. Ahora bien, ¿por qué se denomina a este modelo como abierto?, bueno porque existen cinco variables endógenas que es menor que el número total de variables (o sea seis). Si se atribuye un valor a cualquiera de las cinco variables endógenas, se puede determinar el valor de las otras cuatro. Lo que si es necesario conocer sería el valor que se le daría a M como variable exógena. La solución de Y* en este sistema abierto, sería como sigue:

Primero sustituimos M por M barra y L por La + Lt en la cuarta ecuación : M = L, para obtener : M barra = La + Lt. Como: La = j – kR y Lt= cY, entonces la ecuación anterior quedaría así :

M barra = ( j – kR) + cY

Si restamos kR de ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos :

M barra – (j – kR ) = cY , o sea: cY = M barra – ( j – kR); y dividiendo ahora entre C, llegamos a la solución que buscábamos , o sea :

Y* = M barra – j + kR / c

Es decir que la magnitud de Y es igual a la variable exógena M barra menos el parámetro j más el producto de del parámetro k por la variable endógena R, todo dividido por el parámetro c. Para las otras cuatro variables endógenas se puede obtener una ecuación de solución por métodos análogos.

También podemos obtener soluciones para una ecuación de segundo grado y también conocer los cambios en las variables endógenas debido a cambios en la variable exógena ( o en los parámetros). En la ciencia económica a menudo interesa conocer las repercusiones de estos cambios o la razón de variación entre la variación de una variable endógena al cambiar la variable exógena. Pero este asunto es otra historia que podría explicarse mejor si se examinaran las aplicaciones de este asunto en el análisis macro y microeconómico.

Nota importante : Este trabajo es un resumen en español de la primera parte del excelente libro escrito en idioma portugués, en Rió de Janeiro, del profesor de economía  Robert C Bingham de Kent State University, denominado “A economía em linguagem matemática”, Zahar Editores, 1975.

Autor: Prof. Alfredo Ascanio

Universidad Simón Bolívar

Caracas-Venezuela