Desarrollo de la IO

Tipos de modelos de la IO

                                                Simbólico o matemático

                                                De simulación

                                                Heurístico

Fases de estudio de la IO

                                                Definición del problema

                                                Construcción del modelo

                                                Solución del modelo

                                                Validación del modelo

                                                Implantación de los resultados

Programación lineal aplicada

                        Ejemplos de aplicaciones de programación lineal

                                                Planeacion de producción

                                                Mezcla de alimentos

                                                Problemas de la perdida por ajustes

                                                Control de la calidad del agua

                                                Perforación de pozos petroleros

                                                Balanceo en el ensamble

                                                Control de inventarios

                                                Notas sobre aplicaciones de prog Lineal

Desarrollo de la Investigación de Operaciones  

Durante la segunda guerra mundial, la administración militar en Gran Bretaña llamó a un equipo de científicos para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa aérea y terrestre del país. Su objetivo era determinar la utilización más efectiva de los recursos militares limitados. Las aplicaciones incluían entre otras, estudios de la forma de utilizar el radar y de la efectividad  de nuevos tipos de bombas.

   El nombre de investigación de operaciones  fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares). Desde su nacimiento, este nuevo campo de toma de decisiones se ha caracterizado por el uso del conocimiento científico a través del esfuerzo de equipos interdisciplinarios, con el propósito de determinar la mejor utilización de los recursos limitados

   Un modelo de la  investigación de operaciones se define como una representación idealizada (simplificada) de un sistema de la vida real. Este sistema puede ya  estar en existencia o puede todavía ser una idea en espera de ejecución. En el primer caso el objetivo del modelo es analizar el comportamiento del sistema a fin de mejorar su funcionamiento. En el segundo, el objetivo es diversificar la mejor estructura del sistema futuro.

   La complejidad de un sistema real resulta del gran número de elementos (variables) que controlan el comportamiento del sistema. Aunque una situación real puede involucrar un número sustancial de variables, gralmente., una pequeña fracción de estas variables realmente domina el comportamiento del sistema. Por consiguiente, la simplificación del sistema real en términos de un modelo se concentra principalmente en la identificación de las variables y relaciones dominantes que lo gobiernan.

TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES (IO)  

ü       Simbólico o matemático

ü       De Simulación

ü       Heurístico  

Simbólico o matemático.-  Es el tipo más importante de modelo de investigación de operaciones. Al formular este tipo uno supone que todas las variables relevantes son cuantificables. Por consiguiente, los símbolos matemáticos se utilizan para representar variables, las cuales entonces están relacionadas con las funciones matemáticas apropiadas para describir el comportamiento del sistema. Luego la solución del modelo se logra por manipulación matemática apropiada.

De Simulación.- Los modelos de simulación “imitan” el comportamiento del sistema sobre un periodo. Esto se logra especificando ciertos eventos, los cuales son puntos en el tiempo, cuya ocurrencia significa que puede recolectarse la información importante perteneciente al comportamiento del sistema. Una vez que se definen tales eventos es necesario prestar atención al sistema únicamente cuando ocurre un evento. La información que mide el funcionamiento del sistema se acumula en observaciones estadísticas, las cuales se actualizan en cuanto cada evento tiene lugar.

   Dado que los modelos se simulación no necesitan funciones matemáticas explicitas para relacionar las variables, usualmente es posible simular sistemas complejos que no pueden modelarse o resolverse matemáticamente. Tal flexibilidad permite una representación más aproximada al sistema. La principal falla de la simulación consiste en que el análisis es equivalente a realizar experimentos y por consiguiente está sujeto al error experimental. Esto lleva a las dificultades usuales de diseñar (estadísticamente) el experimento, recolectar observaciones y entonces ejecutar las pruebas estadísticas necesarias de inferencia.

Heurístico.-  El método Heurístico de solución descansa en las reglas empíricas o intuitivas que, dada una solución actual al modelo, permiten la determinación de una solución mejorada. Actualmente los métodos heurísticos son procedimientos de búsqueda que pasan inteligentemente de un punto de solución  a otro, con el objetivo de mejorar el valor del criterio del modelo. Cuando ninguna mejora adicional puede lograrse la mejor solución que se haya tenido es la solución aproximada al modelo.

FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES  

Ø       Definición del problema

Ø       Construcción del modelo

Ø       Solución del modelo

Ø       Validación del modelo

Ø       Implantación de los resultados finales    

   Definición del problema.- Desde el punto de vista de investigación de operaciones esto indica tres aspectos principales: (a) una descripción de la meta o el objetivo del estudio, (b) una identificación de las alternativas de decisión del sistema y (c) un reconocimiento de las limitaciones, restricciones y requisitos del sistema.

Una descripción del objetivo del estudio debe reflejar una representación aproximada del interés total del sistema. Una falla común en este aspecto es identificar algunas metas representando solamente una porción del sistema total. Bajo tales condiciones, lo que se considera mejor para esta porción del sistema, puede realmente ser dañino para la operación entera. En forma semejante, un estudio que no toma en cuenta todas las alternativas y limitaciones de decisión del sistema es probable que proporcione una solución no aproximada.  

Construcción del modelo.-  Dependiendo de la definición del problema, el equipo de investigación de operaciones deberá decidir sobre el modelo más adecuado para representar el sistema. Tal modelo deberá especificar expresiones cuantitativas para el objetivo y las restricciones del problema en función de sus variables de decisión. Si el modelo resultante se ajusta a uno de los modelos matemáticos comunes, puede obtenerse una solución conveniente mediante técnicas matemáticas. Si las relaciones matemáticas del modelo  son demasiado complejas para permitir soluciones analíticas, puede ser mas apropiado un modelo de simulación. Algunos casos pueden requerir el uso de una combinación  de modelos matemáticos, heurísticos y de simulación. Esto depende de la naturaleza y complejidad del sistema en investigación.

Solución del modelo.- En modelos matemáticos esto se logra usando técnicas de optimización bien definidas y se dice que el modelo proporciona una solución “optima”. Si se usan los modelos de simulación o heurísticos el concepto de optimizad no está tan bien definido, y la solución en estos casos se emplea para obtener evaluaciones aproximadas de las medidas del sistema.

   Además de la solución del modelo uno debe también asegurar, información adicional sobre el comportamiento de la solución debida a cambios en los parámetros del sistema. Usualmente esto se conoce como “análisis de sensibilidad”. Tal análisis es especialmente necesario cuando los parámetros del sistema no pueden estimarse aproximadamente.  

Validación del modelo.- Un modelo es valido si, independiente de sus inexactitudes al representar el sistema, puede dar una predicción confiable del funcionamiento del sistema. Un método común para probar la validez de un modelo es comparar su funcionamiento con algunos datos pasados disponibles del sistema actual. El modelo será valido si bajo condiciones similares de entradas puede reproducir el funcionamiento pasado del sistema.  

Implantación de los resultados finales.- Esto básicamente implicaría la traducción de estos resultados en instrucciones de operación detallada, emitidas en una forma comprensible a los individuos que administrarán y operaran el sistema después. En otras palabras, es imperativo que la fase de implantación se ejecute mediante la cooperación de equipo de investigación de operaciones y de aquellos que serán responsables de la administración y operación del sistema.  

PROGRAMACIÓN LINEAL APLICADA  

La programación lineal es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos de programación lineal es que las funciones que representan el objetito y las restricciones con lineales.

   La linealidad de algunos modelos puede ser justificada con base en las propiedades físicas del problema; otros modelos, los cuales en el sentido directo son no lineales, pueden linealizarse por el uso apropiado de transformaciones matemáticas.

Ejemplos de aplicaciones de programación lineal  

Las aplicaciones en este capitulo se han extraído de las áreas siguientes:  

1. Planeación de la producción
2. Mezcla de alimentos
3. Corte y ajuste de material
4. Control de la calidad del agua
5. Perforación de pozos y producción de petróleo
6. balanceo en el ensamble
7. Inventarios
8.  

Planeación de la producción.

   Se procesan tres productos a través de tres operaciones diferentes. Los tiempos (en minutos) requeridos por unidad de cada producto. La capacidad diaria de las operaciones (en minutos por día) y el beneficio por unidad vendida de cada producto (en pesos) son como sigue:  

  Los tiempos cero indican que el producto no requiere la operación dada. Se supone que todas las unidades producidas se venden. Además los beneficios dados por unidad son valores netos que resultan después que se deducen todos los costos pertinentes. La meta del modelo es determinar la producción diaria óptima para los tres productos que maximice el beneficio.

Mezcla de alimentos

   Una de las aplicaciones mas exitosas de la programación lineal trata sobre la determinación de una mezcla optima de alimentos para satisfacer las necesidades nutritivas de un animal o una persona con el costo mínimo. El modelo supone la disponibilidad de ciertos ingredientes con los cuales se mezcla el alimento. Se conoce el contenido nutritivo de cada ingrediente. Las descripciones del modelo incluyen (1) requerimientos nutritivos diarios del animal y (2) limitaciones físicas o no nutritivas tales como abasto, textura o consistencia y posibilidad de aglomeración. El objetivo es minimizar el costo total de un tamaño de lote dado de la mezcla, de tal manera que se satisfagan las restricciones físicas y nutritivas.  

Problema de la pérdida por ajustes

   Una fábrica de papel recibió tres pedidos de rollos de papel con los anchos y longitudes indicadas en la tabla siguiente:

Pedido No.                                Anchura (pies)                            Longitud (pies)

            1                                              5                                                          10,000

            2                                              7                                                          30,000

Los rollos se producen en la fábrica con dos anchos estándar, 10 y 20 pies, los cuales hay que recortar a los tamaños especificados por los pedidos. No existe límite sobre la longitud de los rollos estándar ya que para propósitos prácticos los rollos de longitud limitada pueden unirse para proporcionar las longitudes requeridas. El objetivo es determinar el esquema de producción (modelos de corte) que minimice la perdida por ajuste y satisfaga la demanda dada.

Control de la calidad el agua

   Tres ciudades descargan agua de desperdicio en la misma corriente, y cada ciudad tiene su planta de tratamiento separada. Cada planta tiene una eficiencia de tratamiento máxima (nivel de remoción e desperdicio) la cual por especificaciones de diseño no puede exceder de 95%. El costo del tratamiento es directamente proporcional a la eficiencia del tratamiento en la planta. Los requisitos ambientales estipulan un nivel mínimo de la calidad de la corriente. El problema es determinar la eficiencia óptima del tratamiento de cada planta que minimiza los costos totales de tratamiento, y todavía satisface la calidad estándar de la corriente.

   Una medida estándar de la calidad de contaminantes en los desperdicios es la DBO (demanda bioquímica de oxigeno) la cual, simplemente enunciada, es el peso de oxigeno requerido para estabilizar el desperdicio constituyente en el agua.

Por consiguiente, cuanto mas alta es la DBO implica menor calidad.  

Las hipótesis básicas del modelo que llevan a la linealidad son:

1. El flujo de la corriente Q es constante.
2. La tasa de descarga de contaminantes (DBO) de la planta a la corriente b es independiente del tiempo.
3. El costo del tratamiento es directamente proporcional a la eficiencia de la planta.

Perforación de pozos y producción de petróleo.

   El petróleo crudo se extraerá de N campos en los siguientes T años. Se requirió determinar un esquema de producción para cada campo a fin de satisfacer obligaciones específicas al costo mínimo. Una porción de la demanda puede satisfacerse de una fuente externa si es necesario. Las restricciones del modelo incluyen principalmente requerimientos de presión mínimos en el campo, requisitos de demanda y  limitación máxima sobre la tasa de producción en dicho campo.

Balanceo en el ensamble

   Una unidad completa de un cierto producto consiste de 4 unidades del componente A y 3 unidades del componente B. los dos componentes (A y B) se fabrican con dos materias primas diferentes de las cuales se tienen disponibles respectivamente, 100 y 200 unidades. Tres departamentos están en el proceso de producción y cada departamento utiliza un método diferente para fabricar los componentes. La tabla siguiente da los requisitos de materia prima por corrida de producción y las unidades resultantes de cada componente. El objetivo es determinar el número de corridas de producción para cada departamento que maximizará el número total de unidades completas del producto final.

                                    Entrada x corrida de                               Salida x corrida de

                                    Producción (unidad)                               producción (unidad)

Departamento            Mat. Prima 1  Mat. Prima 2               Comp. A            Comp.B

            1                                  8                      6                                  7                      5

   El problema anterior se reduce al siguiente problema de programación lineal:

                                    Maximizar x₀= y

Sujeto a                        7x₁ + 6x₂ + 8x₃ – 4y >  0

                                    5x₁ + 9x₂ + 4x₃ – 3y > 0

                                    8x₁ + 5x₂ + 3x₃         < 100

                                    6x₁ + 9x₂ + 8x₃             < 200

                                    x₁ > 0,  x₂> 0,  x₃> 0,  y> 0

Control de inventarios  

   Se fabrica un producto para satisfacer la demanda de los siguientes n periodos. En el periodo i la demanda r_i (unidades) puede satisfacerse con la producción x_t (unidades) en este periodo y/ o el inventario que se tiene de periodos anteriores. Esto significa que es posible producir mas de r_i  unidades en el periodo i, usando los excedentes para satisfacer (algo de) la demanda de uno o mas periodos siguientes.

No se permite ninguna escasez en ningún periodo, de manera que la demanda para todos los periodos debe quedar satisfecha.

   El objetivo del modelo es determinar el esquema óptimo de producción de tal manera que el costo total del sistema de inventario-producción se minimice.

Notas sobre aplicaciones de programación lineal.

   La conclusión a la que se debe llegar es que deberá suponerse la linealidad siempre que no haga “demasiado malo” al modelo. Como y cuando deberán adaptarse estas reglas en la practica no es una pregunta fácil de hacer o de responder. Únicamente la familiaridad del analista con ellas y el conocimiento de la situación real pueden determinar cuando ciertas hipótesis son prácticamente aceptables.